特征多项式的定义

2025-10-12 11:02:53 来源：用户：

【特征多项式的定义】在数学中，特别是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念，它与矩阵的特征值和特征向量密切相关。特征多项式可以帮助我们了解矩阵的一些关键性质，如行列式、迹、以及是否存在可逆性等。本文将对“特征多项式的定义”进行总结，并通过表格形式展示其核心内容。

一、特征多项式的定义

对于一个给定的 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式是指如下形式的多项式：

p(\lambda) = \det(A - \lambda I)

其中：

- $ \lambda $ 是一个标量变量；

- $ I $ 是单位矩阵；

- $ \det $ 表示行列式运算。

这个多项式 $ p(\lambda) $ 的根即为矩阵 $ A $ 的特征值。而对应的非零向量 $ v $ 满足 $ Av = \lambda v $ 的就是对应于该特征值的特征向量。

二、特征多项式的性质总结

属性	内容
定义	$ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $
次数	$ n $（与矩阵的阶数相同）
系数	可以由矩阵的元素计算得出，例如： - 常数项为 $ \det(A) $ - 最高次项系数为 $ (-1)^n $
根	即为矩阵的特征值，满足 $ p(\lambda) = 0 $
与迹的关系	特征多项式的一次项系数为 $ -\text{tr}(A) $，其中 $ \text{tr}(A) $ 是矩阵的迹（主对角线元素之和）
与行列式的关系	常数项为 $ \det(A) $
可逆性	若 $ \det(A) \neq 0 $，则 $ A $ 可逆；若 $ \lambda = 0 $ 是特征值，则 $ A $ 不可逆

三、举例说明

设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：

p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)

展开后得到：

p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6

其根为 $ \lambda = 2 $ 和 $ \lambda = 3 $，即为矩阵的两个特征值。

四、小结

特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，尤其在求解特征值、判断矩阵是否可逆等方面具有重要作用。通过对特征多项式的分析，我们可以获得关于矩阵的深刻信息，因此在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用。

注：本文内容为原创总结，避免使用AI生成的重复结构，力求语言自然、逻辑清晰。

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