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数学期望公式是什么

2025-10-09 14:55:10 来源：用户：

【数学期望公式是什么】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。它可以帮助我们预测一个事件在长期中的平均结果，常用于金融、工程、科学等多个领域。

一、数学期望的基本定义

数学期望（Expected Value），通常用 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 的一种加权平均，权重为相应的概率。

公式表示如下：

- 离散型随机变量：

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)

其中，$ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率。

- 连续型随机变量：

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。

二、数学期望的性质

三、常见分布的数学期望

以下是一些常见的概率分布及其数学期望：

分布名称	概率质量函数 / 密度函数	数学期望 $ E(X) $
二项分布 $ B(n, p) $	$ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $	$ np $
泊松分布 $ P(\lambda) $	$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $	$ \lambda $
正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $	$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $	$ \mu $
均匀分布 $ U(a, b) $	$ f(x) = \frac{1}{b-a} $	$ \frac{a + b}{2} $
指数分布 $ Exp(\lambda) $	$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $	$ \frac{1}{\lambda} $

四、实际应用举例

假设你参与一个游戏，每次游戏有 50% 的概率赢 10 元，50% 的概率输 5 元，那么你的期望收益为：

E(X) = 10 \times 0.5 + (-5) \times 0.5 = 5 - 2.5 = 2.5 \text{元}

这说明，从长期来看，你每次游戏平均能赚 2.5 元。

五、总结

数学期望是衡量随机变量“平均表现”的重要工具，广泛应用于风险评估、投资决策、数据分析等领域。通过理解其公式与性质，可以更准确地预测和分析各种随机现象。

如需进一步了解某类分布或具体计算方法，可继续深入学习相关章节。

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