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协方差计算公式

2025-10-05 05:53:44 来源：用户：

【协方差计算公式】在统计学中，协方差是衡量两个变量之间线性相关程度的指标。它能够反映两个变量的变化趋势是否一致。如果协方差为正，说明两个变量同向变化；若为负，则说明它们反向变化；若接近于零，则表示两者关系不明显。

协方差的计算公式如下：

\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

其中：

- $ X $ 和 $ Y $ 是两个变量；

- $ x_i $ 和 $ y_i $ 是第 $ i $ 个观测值；

- $ \bar{x} $ 和 $ \bar{y} $ 分别是 $ X $ 和 $ Y $ 的均值；

- $ n $ 是样本数量。

协方差计算步骤总结

1. 计算每个变量的平均值

先分别求出 $ X $ 和 $ Y $ 的平均数 $ \bar{x} $、$ \bar{y} $。

2. 计算每个数据点与平均值的差

对于每一个数据对 $ (x_i, y_i) $，计算 $ x_i - \bar{x} $ 和 $ y_i - \bar{y} $。

3. 将差值相乘并求和

将每一对差值相乘，得到 $ (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $，然后对所有数据点求和。

4. 除以样本数量

最后将总和除以样本数量 $ n $，得到协方差值。

协方差计算公式对比表

步骤	公式	说明
1	$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $	计算变量 $ X $ 的均值
2	$ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i $	计算变量 $ Y $ 的均值
3	$ (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $	每个数据点与均值的差的乘积
4	$ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $	所有数据点的差值乘积之和
5	$ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $	协方差的最终计算公式

通过以上步骤和公式，我们可以清晰地理解协方差的计算过程，并用于分析两组数据之间的关系。需要注意的是，协方差的大小受变量单位的影响，因此在实际应用中常使用相关系数来消除量纲影响。

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