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二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式

2025-09-25 15:10:19 来源：用户：

【二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式】在微分方程的学习中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的内容。这类方程的一般形式为：

y'' + py' + qy = f(x)

其中 $ p $、$ q $ 为常数，$ f(x) $ 为非齐次项，通常为多项式、指数函数、三角函数或它们的组合。

该方程的通解由两部分组成：对应的齐次方程的通解和一个特解。因此，求解的关键在于找到对应的齐次方程的通解以及非齐次方程的一个特解。

一、通解公式总结

1. 齐次方程的通解

对应的齐次方程为：

y'' + py' + qy = 0

其特征方程为：

r^2 + pr + q = 0

根据特征根的不同情况，齐次方程的通解如下：

特征根	齐次方程通解
实根 $ r_1 \neq r_2 $	$ y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $
重根 $ r_1 = r_2 $	$ y_h = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x} $
复根 $ \alpha \pm \beta i $	$ y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $

2. 非齐次方程的特解

根据非齐次项 $ f(x) $ 的形式，选取适当的特解形式。常见类型如下：

$ f(x) $ 类型	特解形式（假设 $ f(x) $ 不是齐次方程的解）
多项式 $ P_n(x) $	$ y_p = x^k Q_n(x) $，其中 $ k $ 为 $ f(x) $ 是齐次方程解的重数
指数函数 $ e^{\alpha x} $	$ y_p = x^k A e^{\alpha x} $，若 $ \alpha $ 是特征根，则 $ k \geq 1 $
三角函数 $ \cos \beta x $ 或 $ \sin \beta x $	$ y_p = x^k (A \cos \beta x + B \sin \beta x) $，若 $ \pm \beta i $ 是特征根，则 $ k \geq 1 $
组合函数（如 $ e^{\alpha x} \cos \beta x $）	$ y_p = x^k e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x) $

3. 通解公式

非齐次方程的通解为：

y = y_h + y_p

二、关键步骤总结

三、示例说明（简略）

例如，对于方程：

y'' - 3y' + 2y = e^{2x}

- 齐次方程：$ y'' - 3y' + 2y = 0 $，特征方程 $ r^2 - 3r + 2 = 0 $，根为 $ r=1,2 $

- 齐次通解：$ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $

- 非齐次项 $ f(x) = e^{2x} $，由于 $ e^{2x} $ 是齐次方程的解，故设 $ y_p = A x e^{2x} $

- 代入计算得 $ A = 1 $，故 $ y_p = x e^{2x} $

- 最终通解：$ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x e^{2x} $

通过以上分析可以看出，掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式，不仅有助于理解方程的结构，也能为实际问题提供有效的数学工具。

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